Enumeración de grupos fundamentales

Proposición 6.28

El grupo fundamental del plano proyectivo ${RP}^{2}$ es $Z_{2}$ ^[1]. Véase $π_{1} ({RP}^{2}) ≅ Z_{2}$ .

Comprobación

La aplicación recubridora que lo demuestra es la dada por

p : S^{2} \to {RP}^{2} p ⇝ [p]

proyección al cociente. Donde la relación de equivalencia es

p \sim q ⟺ {\begin{cases} p = q \\ q = - p \end{cases}

De hecho, $p$ es una aplicación recubridora de 2 hojas. Asociada a ella, se podía construir la correspondencia del levantamiento $Φ$ . Como $p^{- 1} (b) = {x, - x}$ , al mismo tiempo que $S^{2}$ es simplemente conexo, aplicando la proposición 6.18, se tiene que $Φ$ es biyectiva.

Así, como todos los grupos de 2 elementos son isomorfos a $Z_{2}$ , entonces $π_{1} (R P^{2}) ≅ Z_{2}$ .

Proposición 6.29

El grupo fundamental de la figura ocho $S^{1} \lor S^{1}$ es no abeliano (grupo libre de dos generadores).

Corolario 6.30

El grupo fundamental del plano con dos agujeros es no abeliano

Corolario 6.31

El grupo fundamental del doble toro $T^{2} # T^{2}$ es no abeliano

Teorema de apoyo

Todos los grupos de $p$ elementos, con $p$ primo, son isomorfos a $Z_{p}$ .

Más que decir que el grupo fundamental del plano proyectivo sea $Z_{2}$ , lo correcto es decir que el grupo fundamental del plano proyectivo es isomorfo a $Z_{2}$ . ↩︎